Обоснуйте тождество: (ctga+1)^2+(ctga-1)^2=2/sin^2a

Используя формулы формулой квадрата разности (a - b)^2 = a^2 - 2 * a * b + b^2 и квадрата суммы (a + b)^2 = a^2 + 2 * a * b + b^2, раскроем скобки в левой доли данного выражения и приведем сходственный слагаемые:

(ctg(a) +1 )^2 + (ctg(a) - 1)^2 = 2/sin^2(a) = ctg^2(a) + 2ctg(a) + 1 + ctg^2(a) - 2ctg(a) + 1

ctg^2(a) + ctg^2(a) + 2ctg(a) - 2ctg(a) + 1 + 1 = 2ctg^2(a) + 2 = 2 * (ctg^2(a) + 1).

Так как ctg(a) = cos(a)/sin(a), получаем:

2 * (ctg^2(a) + 1) = 2 * ((cos(a)/sin(a))^2 + 1) = 2 * (cos^2(a)/sin^2(a) + 1) = 2 * (cos^2(a) + sin^2(a)) /sin^2(a).

Используя тождество cos^2(a) + sin^2(a) = 1, получаем:

2 * (cos^2(a) + sin^2(a)) /sin^2(a) = 2/sin^2(a).

Как следует,

(ctg(a) +1 )^2 + (ctg(a) - 1)^2 = 2/sin^2(a).