X^2 -x -9/(x -1) amp;lt;=0

(х - x - 9)/(x - 1)  0.

Определим значение х, где модуль меняет символ: х = 0.

1) х gt; 0. Раскрываем модули со знаком (+).

(х - x - 9)/(x - 1)  0.

Дробь тогда меньше нуля, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Выходит две системы: х - x - 9  0; х - 1 gt; 0 (а) и х - x - 9 0; х - 1 lt; 0 (б).

а) х - x - 9  0; х - 1 gt; 0 (х gt; 1).

Осмотрим функцию у = х - x - 9, это кв. парабола, ветки ввысь.

Найдем нули функции: у = 0; х - x - 9 = 0.

D = 1 + 36 = 37 (D = 37).

х₁ = (1 - 37)/2 ( -2,5).

х₂ = (1 + 37)/2 ( 3,5).

Так как неравенство имеет знак , то решением неравенства будет участок, где парабола находится ниже оси х, то есть [(1 - 37)/2; (1 + 37)/2].

Соединяем со вторым неравенством х gt; 1, решение системы: (1; (1 + 37)/2].

б) х - x - 9 0; х - 1 lt; 0 (х lt; 1).

Корни параболы одинаковы:

х₁ = (1 - 37)/2 ( -2,5).

х₂ = (1 + 37)/2 ( 3,5).

Так как неравенство имеет символ , то решением неравенства будут участки, где парабола находится выше оси х, то есть (-; (1 - 37)/2] и [(1 + 37)/2; +).

Объединяем со вторым неравенством х lt; 1, решение системы: (-; (1 - 37)/2] не заходит в просвет х gt; 0.

2) х lt; 0. Раскрываем модули со знаком (-).

(х + x - 9)/(-x - 1)  0.

Выходит две системы: х + x - 9  0; -х - 1 gt; 0 (а) и х + x - 9 0; -х - 1 lt; 0 (б).

а) х + x - 9  0; -х - 1 gt; 0.

Рассмотрим функцию у = х + x - 9, это кв. парабола, ветки вверх.

Найдем нули функции: у = 0; х + x - 9 = 0.

D = 1 + 36 = 37 (D = 37);

х₁ = (-1 - 37)/2 ( -3,5).

х₂ = (-1 + 37)/2 ( 2,5).

Так как неравенство имеет символ , то решением неравенства будет участок, где парабола находится ниже оси х, то есть [(-1 - 37)/2; (-1 + 37)/2].

Соединяем со вторым неравенством -х - 1 gt; 0, х lt; -1,  решение системы: [(-1 - 37)/2; -1).

б) х + x - 9 0; -х - 1 lt; 0.

Корни параболы одинаковы:

х₁ = (-1 - 37)/2 ( -3,5).

х₂ = (-1 + 37)/2 ( 2,5).

Так как неравенство имеет символ , то решением неравенства будут участки, где парабола находится выше оси х, то есть (-; (-1 - 37)/2] и [(-1 + 37)/2; +).

Соединяем со вторым неравенством -х - 1 lt; 0, х gt; -1, решение системы:  [(-1 + 37)/2; +) не заходит в просвет x lt; 0.

Ответ: х принажлежит интервалам [(-1 - 37)/2; -1) и (1; (1 + 37)/2].