Найдите наибольшее и меньшее значения функции y=2sin2x+cos4x на интервале [0; pi/3]

   1. Производная функции:

      y(x) = 2sin(2x) + cos(4x);

      y(x) = 4cos(2x) - 4sin(4x);

      y(x) = 4cos(2x) - 8sin(2x)cos(2x);

      y(x) = 4cos(2x)(1 - 2sin(2x)).

   2. Найдем критичные точки:

      y(x) = 0;

      4cos(2x)(1 - 2sin(2x)) = 0;

      [cos(2x) = 0;
      [1 - 2sin(2x) = 0;

      [cos(2x) = 0;
      [sin(2x) = 1/2;

      [2x = /2 + k, k Z;
      [2x = /6 + 2k, 5/6 + 2k, k Z;

      [x = /4 + k/2, k Z;
      [x = /12 + k, 5/12 + k, k Z.

   Критичные точки на интервале [0; /3]:

      /12 и /4.

   3. Вычислим значения функции на концах интервала [0; /3] и в критичных точках:

      y(0) = 2sin0 + cos0 = 2 * 0 + 1 = 1;

      y(/12) = 2sin(/6) + cos(/3) = 2 * 1/2 + 1/2 = 3/2;

      y(/4) = 2sin(/2) + cos() = 2 * 1 - 1 = 1;

      y(/3) = 2sin(2/3) + cos(4/3) = 2 * 3/2 - 1/2 = 3 - 1/2.

   Меньшему значению функция добивается в точках 0 и /4:

      y(0) = y(/4) = 1,

величайшему значению - в точке /12:

      y(/12) = 3/2.

   Ответ: 1 и 3/2.