1.При каких значениях x касательная к графику функции y = 1/3x^3

у = 1/3 х^3 + х^2  6х.

Уравнение касательной к графику функции в точке х₀ имеет вид:

у = у (x₀) (x x₀) + y (x₀).

Таким образом, угловой коэффициент касательной равен k = у (x₀).

Найдем производную функции у = 1/3 х^3 + х^2  6х:

у = (1/3 х^3 + х^2  6х) = 1/3 * 3х^2 + * 2х 6 = х^2 + х - 6.

Производная функции в точке х₀:

у (х₀) = х₀^2 + х₀ - 6.

Т.к. график касательной обязан быть параллелен прямой у = 6х 1, то угловые коэффициенты прямых должны быть одинаковы, тогда:

х₀^2+ х₀ 6 = 6.

Решим уравнение:

х₀^2+ х₀ 6 6 = 0,

х₀^2 + х₀ 12 = 0,

(х₀ + 4) (х₀ 3) = 0,

х₀ = -4,

х₀ = 3.

Ответ: при х = -4 и х = 3 касательная к графику функции у = 1/3 х^3 + х^2  6х параллельна прямой y = 6x 1.

y = 1 + e^(x - 1).

Угловой коэффициент касательной равен k = у (x₀).

Найдем производную функции у = 1 + e^(x - 1):

у = (1 + e^(x - 1)) = e^(x - 1).

Т.к. график касательной сочиняет угол 45⁰ с осью ОХ, то k = tg 45⁰ = 1. Получим:

e^(x - 1) = 1,

х 1 = 0,

х = 1.

Ответ: в точке х = 1 касательная проведенная к графику функции y = 1 + e^(x - 1), сочиняет угол 45⁰ с осью OX.