Исследовать на экстремум функции y=1/3 x^3+x^2-3x

Исследуем функцию y = 1/3 x^3 + x^2 - 3x с помощью производной. Экстремумы функции это точки максимума и точки минимума.

y = (1/3 x^3 + x^2 - 3x) = x^2 + 2x - 3;

x^2 + 2x - 3 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = 2^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16; D = 4;

x = (-b  D)/(2a);

x1 = (-2 + 4)/2 = 2/2 = 1;

x2 = (-2 - 4)/2= -6/2 = -3.

Отметим на числовой прямой точки (-3) и 1. Они разделяют прямую на промежутки: 1) (-; -3), 2) (-3; 1), 3) (1; +). Производная функции на 1 и 3 интервалах воспринимает положительные значения, на 2 промежутке производная принимает отрицательные значения. Если производная функции положительная на интервале, то на этом промежутке функция подрастает. Если производная функции на интервале отрицательная, то на этом промежутке функция убывает. Означает, на 1 и 3 промежутках функция вырастает, а на 2 интервале убывает. 

В точке х = -3 функция меняет возрастание на убывание, означает эта точка является точкой максимума. В точке х = 1 функция меняет убывание на возрастание, означает это точка минимума.

Ответ. Максимум функции в точке х = -3; минимум функции в точке х = 1.