Sin(90+L)-cos(180-L)+tg(270+L)+ctg(360-L)

Для решения sin воспользуемся формулой сложения:

sin ( + ) = sin * cos + sin * cos .

sin (90 + L) = sin 90 * cos L + sin L * cos 90, при этом sin 90 = 1, cos 90 = 0.

Как следует: sin (90 + L) = sin 90 * cos L + sin L * cos 90 = 1 * cos L + sin L * 0 = cos L. 

Воспользуемся формулой вычитания для cos:

cos ( - ) = cos * cos + sin * sin

cos (180 - L) = cos 180 * cos L + sin 180 * sin L, при этом cos 180 = -1, sin 180 = 0.

Как следует: cos (180 - L) = cos 180 * cos L + sin 180 * sin L = -1 * cos L + 0 * sin L = -cos L.

Беря во внимание, что значения для tg 270 не существует, переведем tg L в ctg L: tg L = 1 / ctg L и получим: tg (270 + L) = 1 / ctg (270 + L).

Воспользуемся формулой сложения для ctg:

ctg ( + ) = (ctg * ctg - 1) / (ctg + ctg ).

1 / ctg (270 + L) = 1 / ((ctg 270 * ctg L - 1) / (ctg L + ctg 270)) = (ctg L + ctg 270) / (ctg 270 * ctg L - 1), при этом ctg 270 = 0.

Как следует: 1 / ctg (270 + L) = (ctg L + 0) / (0 * ctg L - 1) = - ctg L.

Так как для ctg 360 тоже не существует значения, потому преобразуем его через tg: ctg = 1 / tg и получим: ctg (360 - L) = 1 / tg (360 - L).

Воспользуемся формулой разности для tg:

tg ( - ) = (tg - tg ) / (tg * tg + 1).

1 / tg (360 - L) = 1 / ((tg 360 - tg L) / (tg 360 * tg L + 1)) = (tg 360 * tg L + 1) / (tg 360 - tg L), при этом tg 360 = 0.

Как следует: 1 / tg (360 - L) = (0 * tg L + 1) / (0 - tg L) = 1 / (-tg L) = -ctg L.

В итоге получили такие значения:

sin (90 + L) = cos L, cos (180 - L) = -cos L, tg (270 + L) = - ctg L, ctg (360 - L) = -ctg L.

Подставим полученные значения в начальную формулу и упростим:

sin (90 + L) - cos (180 - L) + tg (270 + L) + ctg (360 - L) = cos L - (-cos L) + (-ctg L) + (-ctg L) = cos L + cos L - ctg L - ctg L = 2 * cos L - 2 * ctg L = 2 * (cos L - ctg L).

Ответ: sin (90 + L) - cos (180 - L) + tg (270 + L) + ctg (360 - L) = 2 * (cos L - ctg L).