Найдите сумму всех естественных решений неравенства (x^2+x+2)/5-xamp;gt;или равно 1

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

(x + x + 2)/(5 - x) 1.

(x + x + 2)/(5 - x) - 1 0;

(x + x + 2 - 5 + х)/(5 - x) 0;

(x + 2x - 3)/(5 - x) 0.

Разложим числитель по формуле ax^2 + bx + c = (x - x₁)(x - x₂), где x₁ и x₂ - это корни квадратного трехчлена.

Подберем корешки квадратного уравнения с подмогою теоремы Виета: х₁ + х₂ = -2; х₁ * х₂ = -3.

х₁ = -3 и х₂ = 1.

Означает, (x + 2x - 3) = (х + 3)(х - 1).

(х + 3)(х - 1)/(5 - x) 0.

Решим неравенство способом промежутков:

Знаменатель имеет отрицательный коэффициент, умножим неравенство на (-1), знак перевернется.

(х + 3)(х - 1)/(х - 5) 0.

Найдем корешки неравенства:

х + 3 = 0; х = -3.

х - 1 = 0; х = 1.

х - 5 = 0; х = 5 (не заходит в просвет, это корень знаменателя).

Отмечаем на числовой прямой точки -3, 1 и 5, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого промежутка, начиная в крайнего правого (+), а позже чередуя плюс и минус.

(-) -3 (+) 1 (-) 5 (+).

Так как знак неравенства 0, то ответом будут интервалы, где стоит знак (-).

Решением неравенства будут промежутки (-; -3] и [1; 5).

Естественные решения в этих промежутках - это только 1, 2, 3 и 4.

Найдем их сумму: 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

Ответ: сумма всех естественных решений равна 10.