На шахматном турнире каждый из соучастников обязан был сыграть ровно одну

   1. Представим, сначало было n + 2 участников шахматного турнира.

   2. Число партий, сыгранных двумя выбывшими участниками, одинаково 7 или 8, в зависимости от того, игрались ли они друг с ином. Для других же партий получим:

• k = 62 - 8 = 54 или:
• k = 62 - 7 = 55.

   3. Каждая пара посреди остальных n соучастников сыграла по одной партии. Количество таких пар равно сочетанию из n по 2, как следует, можем составить уравнение:

• С(n; 2) = k;
• n!/(2! * (n - 2)!) = k;
• n * (n - 1)/2 = k;
• n * (n - 1) = 2k;
• n^2 - n - 2k = 0;
• D = 1^2 + 4 * 2k = 1 + 8k.

   1) k = 54:

      D = 1 + 8 * 54 = 432, не является квадратом натурального числа.

   2) k = 55:

• D = 1 + 8 * 55 = 441 = 21^2.
• n = (1 21)/2;

• n1 = (1 - 21)/2 = -20/2 = -10, не удовлетворяет условию задачки;
• n2 = (1 + 21)/2 = 22/2 = 11.

   Всех участников:

      n + 2 = 11 + 2 = 13.

   Ответ: 13 участников.