В большой дружной семье много малышей. Семеро из их обожают яблоки,

По условию в семье только один человек любит и груши, и яблоки, и персики.

Если в семье 2 человека любят персики и груши, то среди их есть человек, который любит еще и яблоки (так как по условию 1 человек любит все), то есть в семь будет 2 - 1 = 1 человек, который любит только персики и груши.

По условию 3 человека обожают яблоки и груши, но посреди их есть непременно тот, который любит еще и персики, означает только яблоки и груши любят 3 - 1 = 2 человека. 

И еще у нас остается случай, когда 4 человека обожают яблоки и персики, среди них также есть тот, который любит груши (так как по условию 1 человек любит все), то есть 4 - 1 = 3 человека обожают только яблоки и персики. 

Одни только яблоки любит 7 - 1 - 2 - 3 = 1 человек, только груши - 5 - 1 - 2 - 1 = 1 человек и только персики - 6 - 1 - 1 - 3 = 1 человек.

Наглядней - нарисовать три пересекающихся круга, внести туда все данные.

Означает в семье 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 3 = 10 человек. 

Ответ: 10 человек.