Отыскать меньшее и наибольшее значения функции на отрезке y = x

у(x) = x^2 + 16/х - 16, на интервале [1; 4].

Поначалу необходимо найти точки экстремума функции, т.е. такие точки, в которых производная функции одинакова нулю или не существует.

Найдем производную функции.

у(x) = (x^2 + 16/х - 16) = 2х 16/(х^2).

Точки экстремума

y = 0:

2х 16/(х^2) = 0,

(2x^3 16) /(х^2) = 0,

2x^3 16 = 0,

x^3 = 8,

x = 2.

y не существует: х = 0.

Получим: х = 0 и x = 2 точки экстремума функции.

При х lt; 0, у lt; 0, функция убывает.

При 0 lt; х lt; 2, у lt; 0, функция убывает.

При х gt; 2, у gt; 0, функция подрастает.

Наибольшее и меньшее значение функции на отрезке достигается или в точке экстремума, или на концах отрезка.

Точки х = 0 не принадлежит интервалу [1; 4].

При х = 1, у (x) = 1^2 + 16/1 16 = 1 + 16 16 = 1.

При х = 2, у (x) = 2^2 + 16/2 16 = 4 + 8 16 = -4.

При х = 4, у (x) = 4^2 + 16/4 16 = 16 + 4 16 = 4.

Таким образом, унаим = у (2) = -4, унаиб = у (4) = 4.

Ответ: унаим = -4, унаиб = 4.