Найдите меньшее значение функции Y=-x^3+3x+7 на [-3;3]

1) Вычислим производную данной функции:

у = -x³ + 3x + 7.

у = -3х + 3.

2) Приравняем производную к нулю.

у = 0; -3х + 3 = 0; -3х = -3; х = 1; х = -1 и х = 1.

3) Определим знаки производной на каждом интервале:

(-; -1) пусть х = -2, у = -3 * (-2) + 3 = -12 + 3 = -9. Производная отрицательна, функция убывает.

(-1; 1) пусть х = 0, у = -3 * 0 + 3 = 3. Производная положительна, функция вырастает.

(1; +) пусть х = 2, у = -3 * 2 + 3 = -12 + 3 = -9. Производная отрицательна, функция убывает.

4) Обретаем точки экстремума. Выходит х_min = -1 (точка минимума) и х_max = 1 (точка максимума). Обе точки входят в просвет [-3; 3].

5) Вычислим малое значение функции в точке х_min = -1.

у = -x³ + 3x + 7 = -(-1)³ + 3 * (-1) + 7 = 1 - 3 + 7 = 5.

Ответ: малое значение функции на промежутке [-3; 3] одинаково 5.