Доказать тождество: sin^2(x+y)-sin^2(x-y)=sin2x*sin2y

Преобразовывая левую часть начального соотношения, используя формулу разности квадратов a^2 - b^2 = (a - b) * (a + b):

sin^2(x + y) - sin^2(x - y) = (sin(x + y) - sin(x - y)) * (sin(x + y) + sin(x - y)).

Используя формулы суммы и разности синусов, получаем:

(sin(x + y) - sin(x - y)) * (sin(x + y) + sin(x - y)) = (2 * sin((х + у + х - у)/2) * cos((х + у - х + у)/2)) * (2 * sin((х + у - х + у)/2) * cos((х + у + х - у)/2)) = (2 * sin((2х)/2) * cos((2у)/2)) * (2 * sin((2у)/2) * cos((2х)/2)) = 2 * sin(х) * cos(у) * 2 * sin(у) * cos(х).

Используя формулу синуса дойного угла, получаем:

2 * sin(х) * cos(у) * 2 * sin(у) * cos(х) = (2 *  sin(х) * cos(х)) * (2 *  sin(у) * cos(у)) = sin(2x) * sin(2у).