Найти f 39;(x) и f 39;(x0) если f(x)=1//2 ln x+3, x0=1//4.

Найдём производную данной функции: f(x) = 1 / (2ln x + 3).

Эту функцию можно записать так: f(x) = (2ln x + 3)^(-1).

Воспользовавшись формулами:

(x^n) = n * x^(n-1) (производная главной элементарной функции).

(ln x) = 1 / х (производная главный простой функции).

(с) = 0, где с const (производная главной простой функции).

(с * u) = с * u, где с const (основное правило дифференцирования).

(u + v) = u + v (главное управляло дифференцирования).

y = f(g(x)), y = fu(u) * gx(x), где u = g(x) (главное управляло дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет последующая:

f(x) = ((2ln x + 3)^(-1)) = (2ln x + 3) * ((2ln x + 3)^(-1)) = ((2ln x) + (3)) * ((2ln x + 3)^(-1)) = (2 * (1 / x) + 0) * (-1) * (2ln x + 3)^(-1 - 1) = (2 / x) * (-1) * (2ln x + 3)^(-2) = (-2) / (x * (2ln x + 3)^2).

Вычислим значение производной в точке х0 = 1 / 4:

f(x) (1 / 4) = (-2) / ((1 / 4) * (2 * (ln (1 / 4)) + 3)^2) = (-2 * 4) / ((2 * (-1,39) + 3)^2) = (-8) / ((-2,78 + 3)^2) = (-8) / ((0,22)^2) = -8 / 0,0484 = -165,29.

Ответ: f(x) = (-2) / (x * (2ln x + 3)^2), а f(x) (1 / 4) = -165,29.