Решить уравнение: x^3+2*x^2-1=0

Дано уравнение третьей степени. Обычно целыми корнями в уравнении третьей степени являются делители свободного члена (числа без х).

Решим данное уравнение разложением многочлена на множители с подмогою схемы Горнера.

Метод разложения на множители по схеме Горнера

1. Найти все целые делители свободного члена.
2. Выписать все коэффициенты многочлена.
3. Подставлять все коэффициенты по схеме Горнера, пока ответом не будет 0.
4. Первой скобкой будет (х - х₁).
5. Во вторую скобку складываем ноый многочлен с новыми коэффициентами, понижая ступень на 1.
6. Приравнять каждую скобку к нулю, тем самым отыскать корешки уравнения.

Находим делители свободного члена

В уравнении x³ + 2x - 1 = 0 свободным членом является число -1.

Делителями числа (-1) являются: 1 и -1.

x³ + 2x + 0х - 1 = 0

Выписываем все коэффициенты (включая свободный член): 1, 2, 0 и -1.

Пробуем 1: 1 * 1 + 2 = 3; 1 * 3 + 0 = 3; 1 * 3 + (-1) = 2 (не подходит).

Пробуем -1: -1 * 1 + 2 = 1; -1 * 1 + 0 = -1; -1 * (-1) + (-1) = 0 (подходит).

Означает, первый корень равен -1, 1-ая скобка будет (х + 1). Во вторую скобку собираем новый многочлен с новыми коэффициентами, понижая ступень на 1: 1х + 1х - 1 = х + х - 1.

Решим приобретенное уравнение

(х + 1)(х + х + 1) = 0.

Произведение тогда одинаково нулю, когда один из множителей равен нулю.

Отсюда х + 1 = 0; х = -1.

Или х + х + 1 = 0.

Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = 1 - 4 = -3 (дискриминант меньше нуля, корней нет).

Ответ: корень уравнения равен -1.

Выполним проверку:

x³ + 2x - 1 = 0.

(-1)³ + 2 * (-1) - 1 = 0.

-1 + 2 - 1 = 0.

0 = 0 (правильно).

х^3 + 2х^2 - 1 = 0 - представим 2-ое слагаемое в виде суммы двух выражений; 2х^2 = х^2 + х^2;

х^3 + х^2 + х^2 - 1 = 0 - сгруппируем первые два слагаемых и 2-ые два слагаемых;

(х^3 + х^2) + (х^2 - 1) = 0 - из первой скобки вынесем общий множитель х^2; вторую скобку разложим на множители по формуле разности квадратов двух выражений а^2 - в^2 = (а - в)(а + в);

х^2(х + 1) + (х + 1)(х - 1) = 0 - вынесем за скобку общий множитель (х + 1);

(х + 1)(х^2 + х - 1) = 0 - произведение двух множителей одинаково нулю тогда, когда один из множителей равен нулю;

1) х + 1 = 0;

х = -1;

2) х^2 + х - 1 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = 1^2 - 4 * 1 * (-1) = 1 + 4 = 5; D = 5;

x = (-b D)/(2a);

x1 = (-1 + 5)/2;

x2 = (-1 - 5)/2.

Ответ. -1; (-1 + 5)/2; (-1 - 5)/2.