В окружности с центром O проведены хорды AC и BD так,

https://bit.ly/2RK4J9f

Заметим, что центральный угол AOB и угол ACB опираются на хвалу и ту же дугу AB.

Как следует,

ACB = AOB / 2.

Также заметим, что центральный угол COD и угол CBD опираются на хвалу и ту же дугу CD.

CBD = COD / 2.

Осмотрим треугольник BCP. Сумма 2-ух его углов одинакова полусумме углов AOB и COD:

CBP + BCP = CBD + ACB = COD / 2 + AOB / 2 = (AOB + COD) / 2.

Так как APB и BPC смежные углы,

APB + BPC =180,

APB = 180 - BPC.

Но из треугольника BCP имеем:

CBP + BCP + BPC = 180,

BPC = 180 - (CBP + BCP). Означает:

APB = 180 - BPC = 180 -(180 - (CBP + BCP)) = CBP + BCP = (AOB + COD) / 2, что и требовалось обосновать.