Упростите выражение 1/х*(х+1)+ 1/(х+1)*(х+2) + 1/(х+2)*(х+3) +1/(х+3)*(х+4) +1/(х+4)*(х+5)

   1. Слагаемые в этой сумме представим в виде последовательности функций:

      fn(x) = 1/((x + n - 1)(x + n)), n N.

   2. Докажем по методу математической индукции, что сумма первых n членов этой последовательности одинакова:

      Sn(x) = n/(x(x + n)).

   a) 1-ый член:

      S1(x) = f1(x) = 1/x(x + 1);

   b) представим, что для n = k утверждение правильно:

      Sk(x) = k/(x(x + k)),

и докажем для n = k + 1:

      S(k+1)(x) = (k + 1)/(x(x + k + 1)).

• S(k+1)(x) = Sk(x) + f(k+1)(x);
• S(k+1)(x) = k/(x(x + k)) + 1/((x + k)(x + k + 1));
• S(k+1)(x) = (k(x + k + 1) + x)/(x(x + k)(x + k + 1));
• S(k+1)(x) = (x(k + 1) + k(k + 1))/(x(x + k)(x + k + 1));
• S(k+1)(x) = (k + 1)(x + k)/(x(x + k)(x + k + 1));
• S(k+1)(x) = (k + 1)/(x(x + k + 1)).

   Подтверждено.

   3. Для суммы пяти первых членов получим:

• Sn(x) = n/(x(x + n));
• S5(x) = 5/(x(x + 5)).

   Ответ: 5/(x(x + 5)).