Найдите седьмой член и знаменатель геометрической прогрессии с положительными членами,если: b6=9,b8=3

Дано: b_n геометрическая прогрессия;

b₆ = 9, b₈ = 3;

Отыскать: b₇ - ?; q - ?

Формула члена геометрической прогрессии: b_n = b₁ * q^(n 1). 

Выразим с поддержкою этой формулы 6-ой, седьмой и восьмой члены заданной прогрессии:

b₆ = b₁ * q^(6 1) = b₁ * q^5;

b₇ = b₁ * q^(7 1) = b₁ * q^6;

b₈ = b₁ * q^(8 1) = b₁ * q^7.

Составим систему уравнений:

b₁ * q^5 = 9,                 (1)

b₁ * q^7 = 3                  (2)

Из (1) уравнения выразим

b₁ = 9 / q^5;

Подставим приобретенное выражение во (2) уравнение системы:

9 / q^5 * q^7 = 3;

9 q^2 = 3;

q^2 = 1/3;

q = 1/ sqrt(3).

Т.к. по условию, геометрическая прогрессия с положительными членами, означает q = 1/ sqrt(3).

Подставляем полученное значение знаменателя прогрессии q в выражение для нахождения b₁:

b₁ = 9 : (1/ sqrt(3))^5;

b₁ = 9 : (1/ 9 * sqrt(3)

b₁ = 81sqrt(3).

Сейчас подставим приобретенные значения первого члена и знаменателя данной прогрессии в формулу нахождения седьмого члена:

b₇ = b₁ * q^6 = 81sqrt(3) * (1/ sqrt(3))^6 = 81sqrt(3) / 27 = 3sqrt(3).

Ответ: q = 1/ sqrt(3); b₇ = 3sqrt(3).