Отыскать величайшее и наименьшее значение значения функции на данном отрезке y=1/2x^4-9/2x^2.

1. Найдем первую производную заданной функции:

у = (1/2х^4 - 9/2х^2) = 4 * 1/2х^3 - 9/2 * 2х = 2х^3 - 9х.

2. Приравняем эту производную к нулю:

2х^3 - 9х = 0;

х * (2х^2 - 9) = 0.

Приравняем каждый множитель к нулю:

х = 0;

2х^2 - 9 = 0;

2х^2 = 9;

х^2 = 9 : 2;

х^2 = 4,5;

х = 4,5.

3. Найдем значение функции в точке х = 0, х = 3/2 и на концах заданного отрезка [-1; 4]:

у(-1) = 1/2 * (-1)^4 - 9/2 * (-1)^2 = 1/2 - 9/2 = -4;

у(0) = 0 - 0 = 0;

у(3/2) = 1/2 * (3/2)^4 - 9/2 * (3/2)^2 = 1/2 * 81/4 - 9/2 * 9/2 = 81/8 - 81/4 = -81/8 = -10 1/8;

у(4) = 1/2 * 4^4 - 9/2 * 4^2 = 128 - 72 = 56.

Ответ: fmax = 56, fmin = -10 1/8.