1-cos2x/1+cos2x=tg^2x

   1. Для двойного угла тригонометрической функции косинус существует формула:

      cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x). (1)

   2. Сравнивая эту формулу с тождеством для суммы квадратов синус и косинус:

      sin^2(x) + cos^2(x) = 1, (2)

получим две дополнительные формулы для двойного угла косинус:

• cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = cos^2(x) - (1 - cos^2(x)) = 2cos^2(x) - 1;
• cos(2x) = 2cos^2(x) - 1, (3) отсюда
• 1 + cos(2x) = 2cos^2(x); (4)

• cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 1 - sin^2(x) - sin^2(x) = 1 - 2sin^2(x);
• cos(2x) = 1 - 2sin^2(x), (5) отсюда
• 1 - cos(2x) = 2sin^2(x). (6)

   3. Преобразовав левую часть исходного тождества с помощью формул (4) и (6), получим:

      (1 - cos(2x))/(1 + cos(2x)) = 2sin^2(x)/(2cos^2(x)) = tg^2(x).

   Тождество подтверждено.