x+6-x^2/x^2+2x+1 больше или одинаково 0

(x + 6 - x)/(x + 2x + 1) 0.

Вынесем минус из числителя и умножим неравенство на (-1), знак неравенства перевернется.

(-x + x + 6)/(x + 2x + 1) 0.

-(x - x - 6)/(x + 2x + 1) 0.

(x - x - 6)/(x + 2x + 1) 0.

Дробь тогда меньше нуля, когда числитель и знаменатель имеют различные знаки. Выходит две системы: 1) x - x - 6  0; x + 2x + 1 lt; 0 и 2) x - x - 6 0; x + 2x + 1 gt; 0.

1) x - x - 6  0; 

Осмотрим функцию у = x - x - 6, это квадратичная парабола, ветки ввысь.

Найдем нули функции: у = 0; x - x - 6 = 0.

D = 1 + 24 = 25 (D = 5);

х₁ = (1 - 5)/2 = -4/2 = -2.

х₂ = (1 + 5)/2 = 6/2 = 3.

Отмечаем на числовой прямой точки -2 и 3, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветки ввысь). Неравенство имеет знак 0, значит решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше прямой, то есть (-; -2] и [3; +).

x + 2x + 1 lt; 0.

у = x + 2x + 1, это квадратичная парабола, ветки ввысь.

у = 0; x + 2x + 1 = 0.

D = 4 - 4 = 0 (один корень);

х = -2/2 = -1.

Парабола касается оси х в точке (-1), число не заходит в промежуток, ветви ввысь. Символ неравенства lt; 0, решения неравенства нет.

Означает, нет решения системы.

2) x - x - 6 0;

Корешки неравенства (-2) и 3, решение неравенства [-2; 3].

 x + 2x + 1 gt; 0.

Корень неравенства (-1), решение неравенства (-; -1) и (-1; +).

Решение системы неравенств: [-2; -1) и (-1; 3].