Для функции f(x) отыскать первообразную F(x) принимающую данное значение в данной

Для функции f (x) = 4 * X^3 - x^2 + 1 найдем первообразную F (x). 

F (x) = (4 * x^3 - x^2 + 1) dx = 4 * x^3 dx - x^2 dx + 1 * dx  + const =  4 * x^3 dx - x^2 dx + dx  + const = 4 * x^(3 + 1)/(3 + 1) - x^(2 + 1)/(2 + 1) + x + const = 4 * x^4/4 - x^3/3 + x + const = 4/4 * x^4 - 1/3 * x^3 + x + const =  1 * x^4 - 1/3 * x^3 + x + const = x^4 - 1/3 * x^3 + x + const =  x^4 - 1/3 * x^3 + x + C; 

В итоге получили, что первообразная функции производной функции  f (x) = 4 * X^3 - x^2 + 1 одинакова F (x) = x^4 - 1/3 * x^3 + x + C.