Вычислить площадь фигуры, ограниченной чертами: y=x^3, y=1, x=2.

   1. Координаты точек скрещения графиков:

   a) параболы и прямой y = 1:

• y = 1;
• x = 1;

   b) параболы и прямой x = 2:

• x = 2;
• y = 2^3 = 8;

   c) прямой y = 1 и прямой x = 2:

• x = 2;
• y = 1.

   2. Как следует, площадь фигуры, ограниченной параболой y = x^3 и прямыми x = 2 и y = 2, равна определенному интегралу в пределах от x = 1 до x = 2 от разности функций:

• f1(x) = x^3;
• f2(x) = 1;
• f(x) = f1(x) - f2(x) = x^3 - 1.

   3. Найдем первообразную функции и вычислим площадь фигуры:

• F(x) = f(x)dx;
• F(x) = (x^3 - 1)dx;
• F(x) = 1/4 * x^4 - x;

• F(1) = 1/4 * 1^4 - 1 = 1/4 - 1 = -3/4;
• F(2) = 1/4 * 2^4 - 2 = 1/4 * 16 - 2 = 4 - 2 = 2;

• S = F(2) - F(1);
• S = 2 - (-3/4) = 8/4 + 3/4 = 11/4.

   Ответ: 11/4.