Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат:

   1. Значения x и y изменяются в границах:

• x [0; 2];
• y [0; 2].

   2. Выразим y через x:

• x + y = 2;
• y = 2 - x;
• y = (2 - x)^2.

   3. Объем тела вращения:

• dV = y^2dx;
• dV = (x - 2)^4dx.

   Пусть:

      x - 2 = t.

   Тогда:

• x1 = 0; t1 = -2;
• x2 = 2; t2 = 0;
• x = t + 2;
• 1/2x * dx = dt;
• dx = 2xdt = 2(t + 2)dt;

• dV = t^4 * 2(t + 2)dt = 2(t^5 + 2t^4)dt;
• V(t) = 2(t^5 + 2t^4)dt;
• V(t) = 2(t^6/6 + 2t^5/5);
• V(t1) = V(-2) = 2(8/6 - 8/5) = 16(1/6 - 1/5) = 16(5 - 6)/30 = -16/30 = -8/15;
• V(t2) = V(0) = 0;
• V = V(t2) - V(t1) = 0 - (-8/15) = 8/15.

   Ответ: 8/15.