1)Найдите сумму всех двузначных чисел дающих при дроблении на 5 в

1) Найдите сумму всех двузначных чисел дающих при разделении на 5 в остатке 4.

Решение. 

Хоть какое двузначное число, которое при делении на 5 дает в остатке 4 можно записать в виде 5n + 9, где n  некое целое положительное число.

Рассмотрим последовательность аn = 5n + 9.

Первый член данной последовательности равен 5 * 1 + 9 = 14.

Найдем величайший член данной последовательности, являющийся двузначным числом.

Для этого решим в целых числах неравенство:

5n + 9 lt; 100;

5n lt; 100 - 9;

5n lt; 91;

n lt; 91 /5;

n lt; 18 1/5.

Как следует, наивеличайший член данной последовательности, являющийся двузначным числом будет при n= 18 и этот член равен  5 * 18 + 9 = 99 .

Покажем, что данная последовательность an является арифметической прогрессией:

an+1 - an = 5 * (n + 1) + 9 - (5n + 9) = 5n + 5 + 9 - 5n - 9 = 5.

Как следует, данная последовательность an является арифметической прогрессией с разностью d, одинаковой 5.

Находим сумму первых 18-ти членов данной прогрессии:

S18 = (2 * a1 + d * (18 - 1)) * 18 / 2 = (2 * a1 + d * 17) * 9 = (2 * 14 + 5 * 17) * 9 = (28 + 85) * 9 = 113 * 9 = 1017.

Ответ:  1017.

2)Найдите все значения x , при которых значения выражений x-1, 6-x, 10+3x являются 3-мя последовательными членами геометрической прогрессии.

Решение. По свойству геометрической прогрессии: квадрат хоть какого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению 2-ух соседних членов, стоящих перед ним и после него: то есть (b_n) = b(n-1) * b(n+1). Проверим это утверждение:

( (6 - х) ) = ((x - 1)) * ((10 + 3х) ).

6 - х = ( 10х - 10 + 3х - 3х)  возведём в квадрат обе части уравнения:

36 - 12х + х = 3х + 7х - 10

2х - 19х - 46 = 0 . Получили квадратное уравнение.

Квадратное уравнение, решаем условно x: 

Отыскиваем дискриминант:

D=(-19) ² - 4 * 2 * (-46) = 361 - 4 * 2 * (-46) = 361 - 8 * (-46) = 361 - (-8 * 46) = 361 - (-368) = 361 + 368 = 729.

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x = ( 729 - (-19) ) / ( 2 * 2 ) = ( 27 - (-19) )/ 4 = (27 + 19 )  /  4) = 46 / 4 = 11.5 ;

x=(- 729 - (-19) )/ ( 2 * 2 ) = (-27 - (-19) ) / 4 = (-27  + 19 ) /  4= -8 / 4 = -2.

Ответ: при х = 11,5 и х = -2 .