1.найдите промежутки монотонности функции а)f(x)=(x-2)^2/x+1б)f(x)=x-x

а) Найдем производную функции:

f(x) = (x - 2)/(x + 1).

f(x) = (((x - 2))(x + 1) - (x - 2)(x + 1))/(x + 1) = (2(х - 2)(х + 1) - (х - 4x + 4))/(x + 1) = ((2х - 4)(х + 1) - х + 4x - 4)/(x + 1) = (2х - 4х + 2х - 4 - х + 4x - 4)/(x + 1) = (х + 2х - 8)/(x + 1).

Приравниваем производную к нулю:

f(x) = 0; (х + 2х - 8)/(x + 1) = 0.

х + 2х - 8 = 0; ОДЗ: x + 1 не одинаково 0, х не равен (-1).

D = 4 + 32 = 36 (D = 6);

х₁ = (-2 - 6)/2 = -5.

х₂ = (-2 + 6)/2 = 2.

Вышло три интервала: (-; -5), (-5; 2) и (2; +). Так как это парабола (ветки ввысь), то знаки каждого интервала будут:

(-; -5): плюс, функция вырастает.

(-5; 2): минус, функция убывает.

(2; +): плюс, функция вырастает.

Добавляем ОДЗ (х не равен -1).

Ответ: f(x) возрастает на (-; -5) и (2; +); f(x) убывает на (-5; -1) и (-1; 2).

б) Исполняем задание подобно.

f(x) = x - x.

f(x) = 1/(2х) - 1.

f(x) = 0; 1/(2х) - 1 = 0; ОДЗ: х gt; 0.

1/(2х) = 1;

2х = 1;

х = 1/2;

х = 1/4.

Выходит два интервала (учитываем ОДЗ, х gt; 0):

(0; 1/4) плюс,

(1/4; +) минус.

Ответ: f(x) подрастает на (0; 1/4), f(x) убывает на (1/4; +).