В 18:50 от станции отошел товарный поезд со скоростью 54 км/ч.

1. Определим время, которое прошло после начала движения товарного поезда до начала движения быстрого: 20 часов 20 минут - 18 часов 50 минут = 1 час 30 минут = 1,5 час.

2. Определим расстояние, которое проехал товарный поезд к моменту начала движения быстрого:
54 км/час * 1,5 час = 81 км.

3. Определим время, которое потребовалось быстрому поезду, чтобы догнать товарный:
23 часа 30 минут - 20 часов 20 минут = 3 часа 10 минут = 190/60 час.

4. Составим уравнение для определения скорости Vc быстрого поезда, исходя из условия, что в момент встречи оба поезда проехали однообразное расстояние:
Vcк * (190/60) час = 81 км + 54 км/час * (190/60) час.

5. Отсюда Vск = (81 * 60 / 190 + 54) км/час.

6. После встречи поезда будут удаляться друг от друга со скоростью Vот, одинаковой разности скоростей: Vот = Vcк - 54 = (81 * 60 / 190) км/час.

7. Определим время, которое прошло с момента встречи поездов до полночи:
24 часа 00 минут - 23 часа 30 минут = 30 минут = 0,5 часа.

8. Определим расстояние меж поездами в полночь: Vот * 0,5 = (81 * 60 * 0,5) / 190 =
= 243 / 19 = 12 15/19 км.         

Ответ: в полночь меж поездами будет 12 15/19 км.