Из посёлка в город выехал на велике со скоростью 14 км/ч

1. Так как почтальон и врач двигались на встречу друг другу, то, следовательно, они сближались со скоростью, одинаковой сумме скоростей каждого. То есть: 14 км/ч + 45 км/ч = 59 км/м.

2. В момент встречи почтальон и доктор проехали вместе весь путь от поселка до городка. То есть, расстояние от поселка до города одинаково скорости сближения, умноженной на время до встречи. 
То есть: 59 км/ч * 1 ч = 59 км.

Ответ: расстояние оп поселка до городка 59 км.