Sin4a+sin10a+sin22a+sin16a

Сгруппируем слагаемые парами.

sin 4a + sin 10a + sin 22a + sin 16a = (sin 4a + sin 22a) + (sin 10a + sin 16a).

Воспользуемся формулой преобразования суммы в творенье sin + sin = 2sin ⁺ / ₂ cos / ₂.

(sin 4a + sin 22a) + (sin 10a + sin 16a) = 2sin ^{4а + 22а} / ₂ cos ^{4а 22а} / ₂ + 2sin ^{10а + 16а} / ₂ cos ^{10а 16а} / ₂.

Упростим выражение.

2sin 13а cos  ( 9а)  + 2sin 13а   cos ( 3а) .

Вынесем за скобку 2sin 13а и воспользуемся чётностью функции косинус cos ( ) = cos .

2sin 13а ( cos 9а + cos 3а).

Упростим выражение в скобках по формуле cos + cos = cos ⁺ / ₂ cos / ₂.

2sin 13а   2cos ^{9а + 3а} / ₂ cos ^{9а 3а} / ₂ = 4sin 13а cos 6а cos 3а.

Ответ: sin 4a + sin 10a + sin 22a + sin 16a = 4sin 13а cos 6а cos 3а.