Найдите отношение объема конуса, описанного вокруг правильной треугольной пирамиды, к объему

Обретаем высоту h равностороннего треугольника, лежащего в основании пирамиды (стороны одинаковы а):

h = (a^2 (a/2)^2) = a3/2.

Радиус описанной окружности R равен 2/3 вышины треугольника в основании:

R = (h/3) * 2 = ((a3/2)/3) * 2 =  a3/3.

Радиус вписанной окружности r равен 1/3 вышины треугольника в основании:

r =  h/3 = (a3/2)/3 = a3/6.

Площади оснований конусов:

S_R = пR^2 = п* (a3/3)^2 = п * (a^2 * 3) / 9 = (п * a^2)/3.

S_r =  пr^2 = п * (a3/6)^2 = п * a^2 * 3 /36 = (п * a^2)/12.

Объемы конусов схожей высоты относятся так, как площади их оснований:

V_R/V_r  = S_R/S_r = ((п * a^2)/3)/( (п * a^2)/12) = 12/3 = 4.

Ответ. Объем описанного конуса в 4 раза больше объема вписанного конуса.