Делится ли число: 1111...111 - 81 раз, на 81?

   1. Признак делимости естественного числа на 9. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

   2. Из этого признака следует, что число 111 111 111, состоящее из 9 единиц, делится на 9:

      111 111 111 = 9 * 12 345 679. 

   3. Таким образом, при разделении каждых 9 единиц числа, состоящего из 81 единицы, получим одни и те же означаемые числа, означает, сумма цифр приобретенного числа также делится на 9. Т. е. исходное число два раза делится на 9, стало быть, оно делится и на 9^2 = 81.

   Ответ: делится.