в треугольнике АВС АВ=7 ВС=8 АС=9, Окружность проходит через точки А

Центр вписанной окружности обозначим как О.
Точки касания этой окружности M - со стороной АВ, Р - со стороной ВС, также обозначим точку касания с КL буковкой N.

Знаменито, что АСКL - вписанный четырёхугольник.
Угол АСВ + угол КLС = 180 градусов.
Угол ВLК + угол KLС = 180 градусов.
Из этого следует, что угол ВLК равен углу ACB, а означает треугольник ВКL сходствен АСВ.

ВМ = ВР = х;
АМ = АК = у;
СК = СР = z;
Все это отрезки, на которые делят стороны точки касания вписанной окружности.

х + у = 7;
у + z = 9;
x + z = 8;
у - х = 1;
2 * х = 6 - это необходимая для нас величина, остальное можно не учесть.

Т.к. КМ = КN и NL = LP, можно осознать, что периметр треугольника BKL = 2 * x = 6.
Поэтому BK + KL + BL = BK + NK + NL = MB + BP = 2 * x.

BL = KL * 7/9; BK = KL * 8/9 - т.к BKL сходственен АСВ.

P = KL * 24/9 - это периметр.

Зная все эти данные, можем найти длину KL.

KL = 6 : 24/9;
KL = 6 * 9/24;
KL = 54/24;
KL = 9/4.

Ответ: Длина KL одинакова 9/4.