x ln xdx Отыскать неопределённый интеграл. Результат проверить дифференцированием.

x*ln²x dx

Произведём интегрирование по частям по формуле:

u dv=u*v - v du.

Сначала занесём x под символ дифференциала:

x ln²x dx = 0,5 ln²x dx²  (1)

Сейчас проинтегрируем по долям сообразно приведённой вверху формуле, обозначив мысленно x² за v, а ln²x за u:

0,5 x² ln²x - x² lnx x^-1 dx = 0,5 x² ln²x - x lnx dx  (2)

Подобно интегрируем по частям и 2-ое слагаемое, представленное интегралом:

x lnx dx = 0,5 lnx dx² = 0,5 x² lnx - 0,5 x² x^-1 dx = 0,5 x² lnx - 0,5 x dx  (3)

Здесь x dx = 0,5 x². Как следует:

x lnx dx = 0,5 x² lnx - 0,25 x²   (4)

Отысканный интеграл (4) подставим в выражение (2):

0,5 x² ln²x - x lnx dx = 0,5 x² ln²x - 0,5 x² lnx + 0,25 x² = 0,5 x² (ln²x lnx + 0,5)

Таким образом, интеграл равен (с учётом константы интегрирования):

x ln²x dx = 0,5 x² (ln²x lnx + 0,5) + С

Проверка дифференцированием:

d/dx (0,5 x² (ln²x lnx + 0,5) + С)

Дифференцируем выражение по формуле производное творенья:

d/dx (f(x)*g(x)) = d/dx(f(x))*g(x) + f(x)*d/dx(g(x));

d/dx (0,5 x² (ln²x lnx + 0,5) + С) = x*( ln²x lnx + 0,5) + 0,5 x² (2 lnx x^-1 x^-1).

Раскрываем скобки:

x ln²x x lnx + 0,5x + x lnx - 0,5x = x ln²x (правильно).