Обоснуйте ,что значение выражения 91^10+42^10-85^10 кратно 10.

1. Естественное число делится на 10 без остатка (то есть, кратно 10) только в том случае, если оно оканчивается на нуль.
2. Докажем, что значение выражения 91¹⁰ + 42¹⁰ 85¹⁰ заканчивается на нуль.
3. Данное выражение состоит из алгебраической суммы трёх степеней: 91¹⁰, 42¹⁰ и 85¹⁰. Светло, что эти числа имеют последующее общее свойство: значение заключительней цифры результата зависит только от заключительной числа основания. Не считая того, числа 91¹⁰ и 85¹⁰ (независимо от показателя ступени 10) заканчиваются на ту же цифру, на какую заканчиваются их основания, то есть ступень 91¹⁰ заканчивается на цифру 1, а ступень 85¹⁰ на 5.
4. Со ступенью 42¹⁰ чуть-чуть необходимо возиться. Дело в том, что в зависимости от показателя ступени n, число 42ⁿ может оканчиваться на одну из цифр: 2, 4, 8, 6, при этом такая последовательность заключительных цифр для поочередных показателей ступени n, является периодической.
5. Для первых 10 n, заключительные числа степени 42ⁿ, представлены в последующей таблице:

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Заключительная цифра 42ⁿ

2

4

8

6

2

4

8

6

2

4

Таким образом, последняя цифра выражения 91¹⁰ + 42¹⁰  85¹⁰, одинакова 1 + 4 5 = 0. Что и требовалось доказать.