Отыскать полные дифференциалы последующих функций: z=arctgy/x+arctgx/y

   1. Производная tgx:

      (tgx) = (sinx/cosx) = ((sinx) * cosx - sinx * (cosx))/cos^2x = (cos^2x + sin^2x)/cos^2x = 1/cos^2x.

   2. Производная arctgx:

• cos^2y + sin^2y = 1;
• 1 + tg^2y = 1/cos^2y;
• cos^2y = 1/(1 + tg^2y);

• y = arctgx;
• x = tgy;

• dx = (tgy)dy = 1/cos^2y * dy;
• dy/dx = cos^2y = 1/(1 + tg^2y) = 1/(1 + x^2);
• (arctgx) = 1/(1 + x^2).

   3. Исходя из этой формулы, вычислим полный дифференциал данной функции:

• z = arctgy/x + arctgx/y;

• z/x = -arctgy/x^2 + 1/y(1 + x^2);
• z/y = -arctgx/y^2 + 1/x(1 + y^2);

• dz = z/x * dx + z/y * dy;
• dz = (1/y(1 + x^2) - arctgy/x^2)dx + (1/x(1 + y^2) - arctgx/y^2)dy.

   Ответ: dz = (1/y(1 + x^2) - arctgy/x^2)dx + (1/x(1 + y^2) - arctgx/y^2)dy.