В турнире по шахматам каждый соучастник сыграл с каждым по одной

Пусть число соучастников шахматного турнира N.

Каждый участник сыграл с каждым по одной партии. Тогда каждый участник сыграет с оставшимися N - 1 соучастников.

Тогда N соучастников сыграет N * (N - 1) партий. Но при таком подсчете мы учитываем каждую партию два раза. Если выберем любых 2 соучастников, то при нашем подсчете для первого соучастника количество партий N - 1 и в том числе партия со вторым избранным соучастником. Для второго соучастника количество партий тоже N - 1 и в том числе партия с первым избранным соучастником. Означает, партия меж ними учитывается 2 раза.

Итак, количество партий в турнире N * (N - 1) / 2 = 36.

N^2 - N - 72 = 0. Заметим, что 

9 + (-8) = 1 и 9 * (-8) = 72. По аксиоме Виета получаем корни нашего квадратного уравнения: 9 и -8. Так как N - положительное,

N = 9.

Ответ: 9 соучастников в турнире.