На каждом километре дороги между городками Липецк и Тула стоит столб

Осмотрим ситуацию, идентичную описанной в предложенной задачке (иными словами, составим модель задания, которая поможет нам в решении).

Пусть расстояние меж Липецком и Тулой равно a км. Тогда на 1-м столбе, расположенном в 1 км от Липецка, будет написано "1 км" (до Липецка) и "a - 1 км" (до Тулы). Ha последующем - "2" и "a - 2". Следовательно, сумма чисел всегда одинакова:

1 + a - 1 = a;
2 + a - 2 = a;
...

Так как сумма чисел на столбах одинакова 22, то расстояние меж городками также одинаково 22 км.