в квадрате со стороной 6 см последовательно соединяли середины всех сторон.

Пусть АВСД - данный квадрат. Точка Е - середина АВ, М - середина ВС, К - середина СД, Р - середина АД.

1) Докажем, что ЕМКР - квадрат.

Осмотрим треугольник ЕВМ: угол В = 90 (так как у квадрата все углы по 90). ВЕ = ВМ (так как это половины одинаковых сторон квадрата). Означает, треугольник равнобедренный. Как следует, угол Е равен углу М = (180 - 90) : 2 = 45.

Подобно доказывается, что в треугольнике АЕР углы Е и Р равны 45.

Означает, АЕР + РЕМ + ВЕМ = 180 (это развернутый угол АВ).

45 + РЕМ + 45 = 180.

угол РЕМ = 90.

Так как все треугольники АЕР, ЕВМ, МСК и КДР одинаковы, означает, у четырехугольника ЕМКР все уголы одинаковы 90.

2) Пусть сторона квадрата АВСД одинакова а, тогда его площадь будет одинакова квадрату стороны:

S(АВСД) = а.

Площадь квадрата ЕМКР будет одинакова квадрату стороны, к примеру ЕМ. 

S(ЕМКР) = ЕМ.

Осмотрим треугольник ЕВМ (угол В = 90), по аксиоме Пифагора:

ЕМ = EB + BM. ЕВ и ВМ одинаковы половине стороны квадрата, то есть а/2.

ЕМ = (а/2) + (а/2) = а/4 + a/4 = 2a/4 = a/2.

Значит, площадь ЕМКР одинакова S(ЕМКР) = a/2, то есть в два раза меньше площади АВСД.