при каких значениях m верхушки парабол У=Х к квадрате - 4mх+m

Парабола находится по одну сторону от оси х, если у нее только одна точка касания с осью х или нет их вообще.

Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то точка касания параболы с осью х одна, если дискриминант меньше нуля, то точек касания нет. Означает, дискриминант обязан быть меньше либо равен нулю.

Выразим дискриминант и составим неравенство.

у = х - 4mх + m.

a = 1; b = -4m; c = m.

D = (-4m) - 4 * 1 * m = 16m - 4m = 4m(4m - 1).

D 0;

4m(4m - 1)  0.

Корешки неравенства m = 0, m = 1/4.

Знаки интервалов: (+) 0 (-) 1/4 (+).

Символ неравенства  0, решение неравенства: m принадлежит интервалу [0; 1/4].

у = х + 8mx + 4.

a = 1; b = 8m; c = 4.

D = (8m) - 4 * 1 * 4 = 64m - 16 = 16(4m - 1) = 16(2m - 1)(2m + 1).

D 0;

16(2m - 1)(2m + 1) 0.

Корешки неравенства m = 1/2.

Знаки промежутков: (+) -1/2 (-) 1/2 (+).

Символ неравенства  0, решение неравенства: m принадлежит интервалу [-1/2; 1/2].

Чтоб обе параболы были по одну сторону от оси х, объединим решения обоих неравенств: m принадлежит промежутку [0; 1/4].