1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x, y=2x2. Найдите объем тела,

Решение:

1) По существующему методу решения задачки по вычислению площади фигуры, ограниченной линиями не данных пределами интегрирования, обретаем точки скрещения графиков функций друг с приятелем, определяя пределы интегрирования.

 Решим уравнение x = 2x:

x - 2x = 0:

x(x - 2) = 0 ; x₁ = 0 и x₂ = 2

применяем формулу Ньютона-Лейбница:

s = (от 0 до 2) (2x - x) dx =(от 0 до 2)(x - x / 3) = 4 8 / 3 = 4 / 3 (кв. ед.).

Ответ: 4 / 3 (кв. ед.).

 2) Помимо нахождения площади плоской фигуры с поддержкою определенного интеграла наиглавнейшим прибавленьем темы является вычисление объема тела вращения. 

Объем тела вращения можно вычислить по формуле: V = (от a до b)f²(x)dx.

 Для начала найдем границы интегрирования. Для этого решим уравнение:

x = x ; x (1 - x) = 0 ;   x = 0 U x = 1.

Вычисляем площадь фигуры.

s = (от 0 до 1)(x - x)dx = (от 0 до 1) (2/3xx - x/2) = 2/3 - 1/2 = 4/6 - 3/6=1/6 (кв. ед.).

 Вычисляем объем.

V = (от 0 до 1)xdx (от 0 до 1) x²dx = (от 0 до 1)( * x²  - 1/3 x³) = (1/2-1/3) = 1/6 куб.ед.

 Ответ:V = 1/6 (куб.ед.)