Найти общее решение дифференциального уравнения: y39;39;-2y39;+5y=cos(7x)

Осмотрим дифференциальное уравнение y 2 * y + 5 * y = cos(7 * x). Анализ данного уравнения указывает, что оно является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим и решим поначалу подходящее линейное однородное уравнение y 2 * y + 5 * y = 0.
Характеристическое уравнение для заключительного уравнения имеет вид: k - 2 * k + 5 = 0. Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = b² 4 * a * c = (-2)² 4 * 1 * 5 = 4 - 20 = -16. Так как дискриминант меньше нуля, то квадратное уравнение не имеет реальных решений. Его всеохватывающими решениями будут: k₁ = 1 2 * i и k₁ = 1 + 2 * i. Как следует, решение однородного уравнения имеет вид: y = e^x * (C₁ * cos(2 * x) + C₂ * sin(2 * x)), где C₁ и C₂ константы.
Осмотрим правую часть данного неоднородного уравнения, которую обозначим через f(x). Она имеет вид: f(x) = cos(7 * x). Следовательно, частное решение неоднородного уравнения разыскиваем в виде у = А * cos(7 * x) + B * sin(7 * x). Вычислим производные: у = (А * cos(7 * x) + B * sin(7 * x)) = -7 * А * sin(7 * x) + 7 * В * cos(7 * x) и у = (у) = (-7 * А * sin(7 * x) + 7 * В * cos(7 * x)) = -49 * (А * cos(7 * x) + B * sin(7 * x)).
Подставим найденные выражения в начальное дифференциальное уравнение. Тогда, получим: y 2 * y + 5 * y = -49 * (А * cos(7 * x) + B * sin(7 * x)) 2 * (-7 * А * sin(7 * x) + 7 * В * cos(7 * x)) + 5 * (А * cos(7 * x) + B * sin(7 * x)) = cos(7 * x) либо 14 * A * sin(7 * x) 44 * A * cos(7 * x) 44 * B * sin(7 * x) 14 * B * cos(7 * x) = cos(7 * x).
Приравнивая коэффициенты при схожих функциях, получаем последующую систему уравнений: (при sin(7 * x)) уравнение 14 * A 44 * B = 0 и (при cos(7 * x)) уравнение -44 * A 14 * B = 1. Решая ее, обретаем: A = -11/533; B = -7/1066. Итак, приватное решение имеет вид: y = (-11/533) * cos(7 * x) (7/1066) * sin(7 * x).
Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид: y = e^x * (C₁ * cos(2 * x) + C₂ * sin(2 * x)) - (11/533) * cos(7 * x) (7/1066) * sin(7 * x), где C₁ и C₂ константы.

О проекте

Найти общее решение дифференциального уравнения: y39;39;-2y39;+5y=cos(7x)

Добро пожаловать!