Можно ли посреди первых 100 натуральных чисел избрать 50 чисел так,

   1. В первом случае ответ положительный: к примеру, числа от 1 до 50 либо от 51 до 100. В первой группе сумма любых 2-ух чисел меньше 100, во 2-ой - больше 100.

   2. В случае с 52 числами ответ отрицательный. Докажем это. Посреди первых 100 чисел существует 49 пар чисел, сумма которых одинакова 100:

• 1 + 99 = 100;
• 2 + 98 = 100;
• ...
• 49 + 51 = 100.

   Числа же 50 и 100 не составляют пару ни с одним числом.

   3. С каждой таковой пары чисел можно избрать только одно число: всего 49 чисел. Потому величайшее количество чисел, удовлетворяющих условию задачи, одинаково:

      49 + 2 = 51.

   Что и требовалось обосновать.