В арифметической прогрессии S5=40,S10=155 Отыскать S16

Сумма первых n членов арифметической прогрессии:

Sn = ((2a₁ + d(n - 1) * n) / 2,

где а₁ первый член прогрессии, d разность, n число членов прогрессии.  

Подставляем значения для суммы первых 5 и первых 10 членов:  

40 = ((2a₁ + 4d) * 5) / 2 = 5a₁ + 10d;

155 = ((2a₁ + 9d) * 10) / 2 = 10a₁ + 45d.

После сокращения получаем систему из 2-ух уравнений:

8 = a₁ + 2d;

31 = 2a₁ + 9d.

Из первого уравнения обретаем a₁:

a₁ = 8 - 2d.

Из второго уравнения обретаем d:

31 = 2 * (8 2d) + 9d;

31 = 16 - 4d + 9d;

15 = 5d;

d = 3;

a₁ = 8 - 2 * 3 = 2.

Сумма первых 16 членов:

S₁₆ = ((2 * 2 + 3 * (16 - 1)) * 16) / 2 = (4 + 3 * 15) * 8 = 392.

Ответ: 392.