В мешке лежат 20 голубых шариков,10 бардовых,8 зелёных,12 чёрных и 15

Учитывая самых худший расклад, доставая из мешка шарики наобум придётся достать минимум 52 шарика из 65 чтоб посреди них точно оказалось 12 шариков одного цвета.

Нам придётся достать:

Все 10 красных и 8 зелёных шариков, так как их количество меньше 12.

Из оставшихся также придётся достать по 11 шариков каждого из трёх цветов.

И в этом случае последующий шарик который мы достанем, вне зависимости от его цвета даст нам 12 шариков одного цвета.

(10 + 8) + (11 + 11 + 11) + 1 = 18 + 33 + 1 = 52.