Пусть числа x и y не делятся на 3. Доказать, что

   Если число не делится на 3, то имеет остаток 1 либо 2. Составим сопоставленья для каждой пары этих остатков:

• x 1 ( mod 3);
  y 1 ( mod 3);
• x^4 1 ( mod 3);
  y^4 1 ( mod 3);
• x^4 - y^4 0 ( mod 3). (*)

• x 1 ( mod 3);
  y 2 ( mod 3);
• x^4 1 ( mod 3);
  y^4 16 1 ( mod 3);
• x^4 - y^4 0 ( mod 3). (*)

• x 2 ( mod 3);
  y 1 ( mod 3);
• x^4 16 1 ( mod 3);
  y^4 1 ( mod 3);
• x^4 - y^4 0 ( mod 3). (*)

• x 2 ( mod 3);
  y 2 ( mod 3);
• x^4 16 1 ( mod 3);
  y^4 16 1 ( mod 3);
• x^4 - y^4 0 ( mod 3). (*)

   Сопоставленье (*) значит, что выражение x^4 - y^4 делится на 3, что и требовалось обосновать.