1)Найти промежутки возрастания и убывания функцииу=2х^3+5х^2+4х2)Отыскать величайшее и меньшее значение функцииу=2sinх+sin2х,

1) Найдём производную данной функции:

y = (2 x³ + 5 x² + 4 x) = 6 x² + 10 x +4;

Производная одинакова нулю при

x = (-5 (25 - 24)) / 6 = (- 5 1)/6;

x₁ = - 2/3;

x₂ = -1.

В этих точках функция имеет локальные экстремумы.

2-ая производная

y = 12 x +10 = 0. x₃ = - 5/6/

2-ая производная в найденных точках

y = 12 x₁ +10 = 2 gt; 0. Как следует, в точке х₁ локальный максимум.

y = 12 x₂ +10 = - 2 lt; 0. Следовательно, в точке х₁ локальный минимум.

Левее точки х₁  функция отрицательна и непрерывно убывает при уменьшения х.

Правее точки х₂  функция отрицательна, но непрерывно подрастает при возрастании х.

В промежутке от x₂ до х₃  функция убывает.

В интервале от x₃ до х₁  функция убывает.

2) Ищем точки экстремума. Производная одинакова;

y = (2 sin х + sin² х) = 2 cos х + 2 cos x sin х = 2 cos x (1 + sin x);

y = 0;

a) cos x = 0;

x_1,2 = Pi/2;

b)1 + sin x = 0;

x₃ = - Pi/2 = 3 Pi/2;

Найдём значения функции в этих точках:

у = 2 sin х₁ + sin 2 х₁ = 1;

у = 2 sin х₂ + sin 2 х₂ = - 1;

у = 2 sin х₃ + sin 2 х₃ = - 1;

Cледовательно,

при х = Pi/2 имеем максимум равный 1,

при х = З Pi/2 имеем минимум одинаковый -1,