Посчитайте сумму n+(n+1)+.....+(n+m).Где n,m произвольные естественные числа.

1. Анализ суммы, которую обозначим через А(n; m) = n + (n + 1) + ... + (n + m), указывает, что требуется отыскать сумму первых (m + 1) членов арифметической прогрессии с первым членом n и с шагом 1.
2. Как знаменито, для определения суммы (S_k) первых k членов арифметической прогрессии а_k, k = 1, 2, , можно пользоваться формулой S_k = ((а₁ + а_k) / 2) * k.
3. Так как, 1-ый член данной арифметической прогрессии равен а₁ = n, разность d  = 1, а количество суммируемых членов одинаково (m + 1), то имеем А(n; m) = ((n + (n +  m))/ 2) * (m + 1) = ((2 * n + m) / 2) * (m + 1) = (n + 0,5 * m) * (m + 1) = (m + 1) * n + 0,5 * m * (m + 1).
4. Следует отметить, что раскрыв скобки можно конвертировать данную сумму А(n; m) . Тогда  А(n; m) = (m + 1) * n + 1 + 2 + ... + m. Дальше применив формулу из п. 2, опять придём к приобретенному результату.

 Ответ: n + (n + 1) + ... + (n + m) = (m + 1) * n + 0,5 * m * (m + 1).