При каких значениях m правильно при любом x неравенство X^2+(2m-3)x+m^2-m+4amp;gt;0

х + (2m - 3)x + m - m + 4 gt; 0.

Осмотрим функцию у = х + (2m - 3)x + m - m + 4, это квадратичная парабола, ветки ввысь.

Неравенство имеет символ gt; 0. Неравенство будет правильно при любом х, если вся парабола будет находиться над осью х, то есть не иметь точек касания с осью х.

Означает, дискриминант функции обязан быть меньше нуля.

Выразим дискриминант функции у = х + (2m - 3)x + m - m + 4.

a = 1; b = (2m - 3); c = (m - m + 4).

D = b - 4ac = (2m - 3) - 4(m - m + 4) = 4m - 12m + 9 - 4m + 4m - 16 = -8m - 7.

Сочиняем неравенство D lt; 0.

-8m - 7 lt; 0;

-8m lt; 7;

8m  gt; -7;

m gt; -7/8.

Ответ: неравенство будет верным при любых х, если m будет больше -7/8.