Найдите пятизначное число которое при дробленьи на числа от 2 до

   1. Найдем возможные остатки для каждого делителя:

• 1) на 2: 1;
• 2) на 3: 2;
• 3) на 4: 3;
• 4) на 6: 5;
• 5) на 8: 7;
• 6) на 12: 11;
• 7) на 5: 3 либо 4; на 10: 8 или 9; 8 не подходит, означает: на 5: 4; на 10: 8;
• 8) на 9: 5 или 8;
• 8) на 7: 4, 5, 6;
• 9) на 11: 6, 7, 8, 9, 10.

   2. Для чисел 8, 3 и 5 остаток на единицу меньше делителя, потому для искомого числа n имеем:

• n + 1 = 8 * 3 * 5k = 120k;
• n = 120k - 1. (1)

   3. Для других делителей:

   1) 7;

• (120k - 1) mod 7 = k - 1;
• k - 1 4, 5, 6 (mod 7).
• k 0, 5, 6 (mod 7). (2)

   2) 11;

• (120k - 1) mod 11 = -k - 1;
• -k - 1 6, 7, 8, 9, 10 (mod 11);
• k + 1 1, 2, 3, 4, 5 (mod 11);
• k 0, 1, 2, 3, 4, 5 (mod 11); (3)

   3) 9;

• (120k - 1) mod 9 = 3k - 1;
• 3k - 1 5, 8 (mod 9);
• 3k 0, 6 (mod 9);
• k 0, 2 (mod 3). (4)

   4. Найдем меньшее пятизначное число, удовлетворяющее условию (1):

• n = 120k - 1 = 10000;
• 120k = 10001;
• k = 10001/120 83,34;
• kmin = 84.

   5. Проверим условия для k 84:

• k 0, 5, 6 (mod 7); подходят 84, 89, 90, ...;
• k 0, 1, 2, 3, 4, 5 (mod 11); подходят 88, 89, 90, ...;
• k 0, 2 (mod 3); подходят 84, 86, 87, 89, ...;

   Меньшее значение k, удовлетворяющее всем условиям:

• k = 89;
• n = 120 * 89 - 1 = 10679.

   6. Проверка:

• 10679 (mod 2) = 1;
• 10679 (mod 3) = 2;
• 10679 (mod 4) = 3;
• 10679 (mod 5) = 4;
• 10679 (mod 6) = 5;
• 10679 (mod 7) = 4;
• 10679 (mod 8) = 7;
• 10679 (mod 9) = 5;
• 10679 (mod 10) = 9;
• 10679 (mod 11) = 9;
• 10679 (mod 12) = 11.

   Ответ: 10679.