Докажите,что сумма кубов трех последовательных целых чисел делится на9

Обозначим через х первое число из данной последовательности трех последовательных целых чисел.

Тогда 2-ое и третье числа из этой последовательности будут равны соответственно х + 1 и х + 2, а сумма кубов этих 3-х числе будет одинакова:

х^3 + (x + 1)^3 +  (x + 2)^3.

Используя формулу куба суммы, получаем:

х^3 + (x + 1)^3 +  (x + 2)^3 = х^3 + 3х^2 + 3х + 1 + х^3 + 6х^2 + 12х + 8 = 3х^3 + 9х^2 + 15х + 9 = 3 * (х^3 + 3х^2 + 5х + 3).

Из приобретенного представления следует, что сумма х^3 + (x + 1)^3 +  (x + 2)^3 делится на 3 при любом значении х.