в математическом кружке у каждого есть ровно один друг и ровно

Представим, что в математическом кружке нечетное количество человек.

Заметим, что выбрав хоть какого члена кружка, нам будет знаменито, что у него есть ровно один друг. Выберем из членов кружка этого друга.

В избранной паре каждый является друг другу приятелем. Иных приятелей у их, по условию задачки, быть не может.

Продолжим избирать из оставшихся членов кружка пары приятелей.

Таким образом, мы разобьём весь кружок на пары друзей.

Но по предположению, членов в кружке нечетное количество.

После разбиения на пары друзейостанется один человек, который не может быть никому приятелем и сам не имеет приятелей. Получили противоречие, что и требовалось обосновать.